Definisi 1.1 (Operasi Biner)
Diketahui G himpunan dan a,b∈G. Operasi biner *∗ pada G merupakan pengaitan pasangan elemen (a,b) pada G , yang memenuhi dua kondisi berikut:
1. Setiap pasangan elemen (a,b) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen
2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) pada G merupakan elemen di G.
Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G merupakan himpunan, * operasi pada G, dan a,b∈G, maka a *∗b menyatakan elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) terhadap operasi *∗ .
Contoh 1.2
Diketahui G = Z , yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi *∗ pada Z dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a *∗b = a + b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada Z ?
Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi *∗ merupakan operasi yang tertutup. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian a ∗b = a + b∈Z . Jadi, terbukti operasi *∗ merupakan operasi yang tertutup. Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi *∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua
bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi * merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi *∗ merupakan operasi biner pada Z .
Contoh 1.3
Didefinisikan operasi *∗ pada Z dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a *∗b = a b .
Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada Z ?
Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a *∗b =1∗ 2 =1 2∉Z . Jadi,
operasi *∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan
b = 0 akan berakibat a *∗b =1∗0 =1 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi *∗ tidak
memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi *∗ bukan merupakan operasi biner pada Z .
Definisi 1.4 (Grup)
Diketahui G himpunan dan *∗ operasi biner *∗ pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi *∗ jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :
1. G bukan merupakan himpunan kosong
2. Untuk setiap a,b,c∈G berlaku (a *∗b)*c = a*(b*c)
3. Terdapat e∈G sehingga untuk setiap a∈G berlaku e∗* a = a *∗e = a
4. Untuk setiap a∈G terdapat a '∈G sehingga berlaku a *∗ a ' = a '∗* a = e .
Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen e∈G pada aksioma 3 disebut juga dengan elemen identitas. Elemen a '∈G pada aksioma 4 disebut juga dengan invers elemen a terhadap operasi *∗.
Definisi 1.5 (Grup Komutatif)
Grup (G, *∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈G berlaku
a *∗b = b* a .
Contoh 1.6
Grup (G, *∗) pada Contoh 1.5 merupakan grup komutatif karena untuk setiap
(a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b) *(c, d ) = (a + c,b + d ) = (c + a, d + b) = (c, d )*(a,b) ,
sesuai dengan sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat
Definisi 1.7 (Subgrup)
Diketahui (G, *) merupakan grup. Himpunan H ⊆ G disebut subgrup atas G jika dan hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut :
1. H bukan merupakan himpunan kosong
2. (H, *) merupakan grup.
Definisi 1.8 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati)
Diketahui (G, *) merupakan grup dan H ⊆ G merupakan subgrup atas G. Subgrup H
disebut subgrup trivial jika dan hanya jika H = {e}, dengan e∈G merupakan elemen
identitas. Subgrup H disebut subgrup sejati jika dan hanya jika H ≠ G.
Teorema 1.12 (Kanselasi Kanan)
Diketahui (G,*) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika a*c = b*c , maka berlaku a = b .
Bukti.
Misalkan a *∗c = b*c . Menurut aksioma 3 Grup (Definisi 1.4) terdapat elemen c ' yang
merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:
(a *∗c) *∗c ' = (b *∗c) *∗c ' .
Menggunakan sifat asosiatif grup diperoleh:
a *∗(c *∗c ') = b *∗(c *∗c ') .
Sesuai definisi aksioma 3 Grup diperoleh c *∗c ' = e , dengan e elemen identitas sehingga:
a *∗e = b *∗e .
Sesuai definisi aksioma 2 Grup diperoleh:
a = b .
Teorema 1.13 (Kanselasi Kiri)
Diketahui (G, *∗) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika c *∗ a = c *∗b , maka berlaku a = b .
Teorema 1.14
Diketahui (G, *∗) merupakan grup dan a,b∈G, maka hanya ada tepat satu x∈G yang
memenuhi persamaan a *∗ x = b .
Untuk Buktinya Silahkan dicoba Sendiri
Diketahui G himpunan dan a,b∈G. Operasi biner *∗ pada G merupakan pengaitan pasangan elemen (a,b) pada G , yang memenuhi dua kondisi berikut:
1. Setiap pasangan elemen (a,b) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen
2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) pada G merupakan elemen di G.
Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G merupakan himpunan, * operasi pada G, dan a,b∈G, maka a *∗b menyatakan elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) terhadap operasi *∗ .
Contoh 1.2
Diketahui G = Z , yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi *∗ pada Z dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a *∗b = a + b . Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada Z ?
Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi *∗ merupakan operasi yang tertutup. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian a ∗b = a + b∈Z . Jadi, terbukti operasi *∗ merupakan operasi yang tertutup. Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi *∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua
bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi * merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi *∗ merupakan operasi biner pada Z .
Contoh 1.3
Didefinisikan operasi *∗ pada Z dengan syarat untuk setiap a,b∈Z , a *∗b = a b .
Apakah operasi ∗ merupakan operasi biner pada Z ?
Diperhatikan bahwa jika a =1 dan b = 2 akan berakibat a *∗b =1∗ 2 =1 2∉Z . Jadi,
operasi *∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a =1 dan
b = 0 akan berakibat a *∗b =1∗0 =1 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi *∗ tidak
memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.
Jadi, operasi *∗ bukan merupakan operasi biner pada Z .
Definisi 1.4 (Grup)
Diketahui G himpunan dan *∗ operasi biner *∗ pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi *∗ jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :
1. G bukan merupakan himpunan kosong
2. Untuk setiap a,b,c∈G berlaku (a *∗b)*c = a*(b*c)
3. Terdapat e∈G sehingga untuk setiap a∈G berlaku e∗* a = a *∗e = a
4. Untuk setiap a∈G terdapat a '∈G sehingga berlaku a *∗ a ' = a '∗* a = e .
Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen e∈G pada aksioma 3 disebut juga dengan elemen identitas. Elemen a '∈G pada aksioma 4 disebut juga dengan invers elemen a terhadap operasi *∗.
Definisi 1.5 (Grup Komutatif)
Grup (G, *∗) disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈G berlaku
a *∗b = b* a .
Contoh 1.6
Grup (G, *∗) pada Contoh 1.5 merupakan grup komutatif karena untuk setiap
(a,b),(c, d )∈G berlaku (a,b) *(c, d ) = (a + c,b + d ) = (c + a, d + b) = (c, d )*(a,b) ,
sesuai dengan sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat
Definisi 1.7 (Subgrup)
Diketahui (G, *) merupakan grup. Himpunan H ⊆ G disebut subgrup atas G jika dan hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut :
1. H bukan merupakan himpunan kosong
2. (H, *) merupakan grup.
Definisi 1.8 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati)
Diketahui (G, *) merupakan grup dan H ⊆ G merupakan subgrup atas G. Subgrup H
disebut subgrup trivial jika dan hanya jika H = {e}, dengan e∈G merupakan elemen
identitas. Subgrup H disebut subgrup sejati jika dan hanya jika H ≠ G.
Teorema 1.12 (Kanselasi Kanan)
Diketahui (G,*) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika a*c = b*c , maka berlaku a = b .
Bukti.
Misalkan a *∗c = b*c . Menurut aksioma 3 Grup (Definisi 1.4) terdapat elemen c ' yang
merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:
(a *∗c) *∗c ' = (b *∗c) *∗c ' .
Menggunakan sifat asosiatif grup diperoleh:
a *∗(c *∗c ') = b *∗(c *∗c ') .
Sesuai definisi aksioma 3 Grup diperoleh c *∗c ' = e , dengan e elemen identitas sehingga:
a *∗e = b *∗e .
Sesuai definisi aksioma 2 Grup diperoleh:
a = b .
Teorema 1.13 (Kanselasi Kiri)
Diketahui (G, *∗) merupakan grup dan a,b,c∈G . Jika c *∗ a = c *∗b , maka berlaku a = b .
Teorema 1.14
Diketahui (G, *∗) merupakan grup dan a,b∈G, maka hanya ada tepat satu x∈G yang
memenuhi persamaan a *∗ x = b .
Untuk Buktinya Silahkan dicoba Sendiri
Tidak ada komentar:
Posting Komentar